lunes, 26 de septiembre de 2011

05 Ecuaciones cuadráticas: Operaciones inversas

ECUACIONES NO LINEALES

Esta semana encontrarás una gran variedad de problemas que no se pueden resolver con ecuaciones lineales, sino que requieren un nuevo tipo de ecuaciones.

Propósito: En esta secuencia resolverás problemas mediante el planteamiento y solución de ecuaciones de segundo o tercer grado.

En Matemáticas I y II aprendiste a resolver problemas y ecuaciones lineales con una incógnita y con dos. Algunas de esas ecuaciones tienen sólo una solución, por ejemplo: 2x + 3 = 8.
Otras tienen una infinidad de soluciones, tal como: x + y = 10.

En esta secuencia estudiarás algunos problemas que pueden resolverse con ecuaciones que tienen dos soluciones, una solución o ninguna solución.

EL NÚMERO SECRETO

I. Resuelve el acertijo:
Pensé un número y lo elevé al cuadrado. Al resultado lo multipliqué por 4 y al final obtuve 100. Si no pensé en el 5, ¿de qué número se trata?


II. El producto de dos números enteros consecutivos es 552.
¿Cuáles son esos números?

a) Para resolver este tipo de problemas es necesario, frecuentemente, encontrar la ecuación primero la ecuación correspondiente. Si se representa con la letra x el número menor de los dos, ¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior?
• (x ) (x ) = 552
• (x ) (552) = y
• x (x + 1) = 552
• (x ) (x ) + 1 = 552
• x^2 + 1 = 552

III. Se tiene el siguiente acertijo: a tres veces el cuadrado de un número se le sumó 8. Como resultado se obtuvo 83.
Si el número se representa con la letra x, ¿cuál de las siguientes es la ecuación que corresponde al acertijo? Subráyala.
• (3 + x )^2 + 8 = 83
• 3x^2 + 8 = 83
• (3)(x^2)(8) = 83

La ecuación que corresponde al acertijo tiene dos posibles soluciones.
a) Encuentra las dos soluciones de la ecuación que subrayaste:
_________ y _________
b) Verifica las soluciones realizando con cada una de ellas las operaciones que se indican en el acertijo.


LO QUE APRENDIMOS DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS

Resuelve los siguientes problemas. Verifica las soluciones que obtengas.

1. El cuadrado de un número más 3 es igual a 84.
El número puede ser ___________ o ___________

2. Pedro pensó un número, lo elevó al cuadrado, al resultado le sumó 5 y obtuvo 1.

a) ¿Por qué crees que Pedro se equivocó al hacer alguna de las dos operaciones?
b) Si Pedro pensó en el –2, ¿cuánto debió obtener de resultado?
c) Si Pedro pensó en el +2, ¿cuánto debió obtener de resultado?
d) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado sea igual a –4? ____ ¿Cuál?


3. El largo de un terreno rectangular mide el doble del ancho. El terreno tiene 162 m^2 de área.
a) Encuentra una ecuación que exprese el problema anterior.
Usa la letra x para representar al ancho.
b) ¿Cuánto mide de ancho?
c) ¿Cuánto mide de largo?

CUBOS, CUADRADOS Y ARISTAS

¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 216 cm3?


I. Revisa los procedimientos que siguieron algunos alumnos para resolver el problema.


¿Con cuál de los tres procedimientos estás de acuerdo?

El procedimiento 1 es incorrecto. Aunque es cierto que la expresión que modela el problema es x^3 = 216, no puede obtenerse el valor de x dividiendo entre 3. Es un error común que los alumnos confundan la obtención de una raíz con una división, por ello es importante aclarar que
el procedimiento correcto, en este caso, es buscar un número que elevado al cubo sea igual a 216.

El procedimiento 2 es correcto aunque Rosa no logró obtener una solución. Si hubiese probado con más números entre 5 y 8 posiblemente habría descubierto que 63 = 216.

El procedimiento 3 es correcto aunque Lupe tampoco pudo llegar al resultado. Sin embargo, sabe que siguiendo el procedimiento de operaciones inversas la forma de encontrar el valor de x es sacando la raíz cúbica de 216.

Lo que debe destacarse al discutir los procedimientos 2 y 3 es que aunque ni Rosa ni Lupe llegaron al resultado, la forma de plantear la obtención de la solución es correcta.

Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿Cuál creen que sea la medida que encontró Rosa al continuar con su procedimiento?
b) ¿Cuánto es la raíz cúbica de 216?

II. Contesta lo que se te pide a continuación
a) Relaciona las columnas.
b) Soluciona las ecuaciones que seleccionaste.
c) Verifica tus soluciones sustituyendo los valores en la siguiente tabla. Si lo consideras necesario, usa tu calculadora.



III. Plantea una ecuación para resolver el siguiente acertijo.
Usa x para representar el número buscado.
"Pensé un número. Le sumé 5 y al resultado lo elevé al cubo.
Al final obtuve –27. ¿Cuál es el número que pensé?"
a) Ecuación: _______________________
b) Soluciona la ecuación que planteaste. Verifica tu solución sustituyendo el valor que encontraste.

Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.

LO QUE APRENDIMOS DE LAS ECUACIONES CÚBICAS

Resuelve los siguientes problemas.

1. A un número le resto 15, el resultado lo elevo al cubo y obtengo –8. ¿De qué número se trata?
Ecuación: ________________
Solución: ________________

2. El área total de las seis caras de un cubo es 60 cm^2.

a) Si la medida de una arista se representa con x, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite encontrar la medida de la arista? Subráyala.
• x^3 = 60
• x^2 = 60
• 6x^2 = 60
• 6x = 60
b) ¿Cuánto mide de área, una cara del cubo?
c) ¿Cuánto mide la arista del cubo? x =
(Usa la calculadora para encontrar la solución.)
d) ¿Cuánto mide de volumen el cubo?

III. Gánate un punto al resolver los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas por el método del despeje.

Resuelve los siguientes problemas. Usa la calculadora para realizar las operaciones cuando lo consideres necesario.

1. A un hojalatero le encargaron hacer un recipiente en forma de prisma cuadrangular de 3 dm de altura que tenga un volumen de 48 dm3.
Para construir el recipiente usará una lámina de metal de forma cuadrada (figura A), luego cortará cuadrados en las esquinas y, finalmente, doblará los bordes para formar el recipiente.


Contesta las siguientes preguntas para encontrar las medidas de los lados de la lámina
a) ¿Qué forma geométrica tiene la base del prisma?

b) La medida en decímetros del lado de la lámina es y.
Subraya la expresión que representa la medida, en decímetros, de un lado de la base del prisma?
• y
• y – 6
• y – 3

c) ¿Qué expresión corresponde al área de la base del prisma?

d) Subraya la ecuación que hay que resolver para encontrar la medida de un lado de la lámina metálica.
• 4(y – 6)^2 = 48
• 6(y – 6)^2 = 48
• 3(y – 6)^2 = 48
• 3(y – 3)^2 = 48

e) Hay dos números que solucionan la ecuación que corresponde al problema. Encuéntralos.
y1 = ___________, y2 = ___________

f) ¿Cuánto tiene que medir el lado de la lámina metálica?


2. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado.
El estacionamiento ocupa una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado y el resto es el jardín con un área de 14 400 m2.


a) Plantea una ecuación que permita encontrar cuánto mide el lado x de todo el terreno.

b) ¿Cuáles son las dos soluciones de la ecuación que encontraste?
__________ y _____________

c) ¿Cuánto mide el lado del terreno del parque?


3. Inventen dos problemas para cada ecuación, resuélvanlas y determinen cuáles soluciones son aceptables para cada problema.

a) x^2/5 = 125

b) 6a^2 = 37.5

c) 3n^2 – n = 102


Sobre ecuaciones cuadráticas, consulten:
http://www.emathematics.net/es/ecsegundogrado.php?a=1&tipo=numero
Ruta: Ecuación de segundo grado > Resolución cuando b=0

lunes, 19 de septiembre de 2011

Proyecto (Feria de Matemáticas)

Opción A: Explicación de productos notables y factorización con el uso de foamy y papel cascarón.

Nuestro trabajo:

Organizados en equipos de 4 o 5 integrantes, elaborarán un croquis en donde se muestre el diseño de las instalaciones del club acuático Las Sirenas. Sólo se representará la base, es decir, no se debe considerar en esta representación la altura de los espacios: será un diseño del “suelo” del club. En el plano deberán especificarse claramente todas las dimensiones de cada una (ancho, largo, radio, etc.) Para que el croquis sea comprensible y se pueda disponer de las áreas donde irán las instalaciones del club, se tomará como referencia una medida base, que se representará con la variable x, y será el punto de partida para determinar todas las dimensiones. Lo que importa no es qué tan grande o pequeña sea x, sino que permita comparar las dimensiones de cada instalación y tomar decisiones respecto del conjunto, a fin de que quede proporcionado.

En los equipos formados, tendrán en cuenta los siguientes datos.

El club tendrá 6 instalaciones: un jacuzzi, una alberca cubierta, una alberca al aire libre, un salón de baile, una zona de vestidores y un salón para aparatos. A continuación encontrará el área de cada instalación expresada en términos de nuestra medida de referencia x.

*El jacuzzi será redondo y su área medirá πx^2 metros cuadrados.
*La alberca cubierta será rectangular y su área será de (x^2 – 64) metros cuadrados.
*La alberca al aire libre es la que está por definirse en la situación inicial. Deberán elegir entre las opciones que propone el arquitecto, el dueño y el profesor.
*El salón de baile será cuadrado, con un área de x^2 + 13x + 40.
*La zona de vestidores será rectangular, y tendrá un área de x^2+13x+40.
*El salón para aparatos será también rectangular con un área de x^2+12x.

Deberán encontrar expresiones algebraicas para las dimensiones de cada instalación y asignar un valor a x, de manera que puedan hacer el croquis en papel cascarón.

¿Cómo vamos?

Trabajen en equipo para analizar y organizar la información con la que cuentan hasta el momento.
*¿Qué datos tienen sobre cada una de las instalaciones del club?
*¿Qué datos necesitan para responder a las preguntas?

Cada miembro del equipo debe proponer cómo utilizar la información que tienen para encontrar las respuestas a las preguntas.

¿Piensan que para el diseño de las instalaciones necesiten factorizar expresiones?
¿Hay una tamaño único para cada espacio que cumpla los requisitos o puede haber distintas expresiones para las dimensiones de cada espacio?

Presentación de nuestro trabajo

Concluyan el diseño del club y preséntenlo al grupo y al profesor.

*Para cada instalación del club, descompongan en factores las expresiones que representan cada área.
*Después de una correcta factorización, hagan el diagrama de cada instalación, utilizando cada factor como una dimensión de la figura.
*Asignen a la variable x un valor que les parezca que brinda un tamaño adecuado a las instalaciones. Pueden probar varios valores para encontrar el que les parezca más adecuado.
*Una vez que tengan las dimensiones para un valor específico de x, elijan una escala para representar el diseño de las cartulinas.
*Especifiquen para cada espacio las medidas en términos de x y en términos del valor que eligieron para x.


Opción B: Exposición del uso de Geogebra para explicar las propiedades de los cuadriláteros.

Nuestro trabajo:
Entregarás una tabla de clasificación de los cuadriláteros y sus propiedades. Para ello debes fijar criterios que te permitan clasificarlos, así como establecer semejanzas y diferencias y demostrarlas con Geogebra.

¿Cómo vamos?
Decide cuáles son las características que te permitan organizar mejor la información de los cuadriláteros de tu tabla. Considera relaciones de congruencia y paralelismo de lados. Asimismo toma en cuenta oblicuidad y perpendicularidad de las diagonales.

Presentación de nuestro trabajo:

Comenta con tus compañeros los criterios que utilizaste para hacer la tabla. Asimismo, explica la razón por la que elegiste la propiedad que justificaste geométricamente utilizando tus conocimientos de congruencia de triángulos y Geogebra.
Analicen conjuntamente el proceso seguido en algunas justificaciones.


Opción C: En equipo, construirán dos de las siguientes tres figuras geométricas: cicloide, hipotrocoide y epitrocoide.

Indagarán cómo son esas curvas, cómo se pueden construir y qué materiales necesitarán.

Al finalizar, explicarán a todo su grupo cómo se construyeron las curvas elegidas y qué aplicación les encontraron.

Opción D: En equipo, van a construir una maqueta, en donde se muestre la relación que existe entre el ángulo inscrito y el ángulo central que abarcan un mismo arco sobre una circunferencia.

Podrán usar una base de madera, de corcho o de cartón; clavos, estambre o cuerda.
Debe verse la forma en que la medida del ángulo central está relacionada con la medida del ángulo inscrito, por lo que estarán indicados los 360° alrededor del círculo. Por otra parte, se debe poder modificar el ángulo con facilidad y observar la relación numérica entre ambos ángulos.

Opción E: En equipos de 4 o 5 integrantes van a hacer el diseño a escala de una pista de atletismo alrededor de una cancha de futbol. La pista contará con 6 carriles.

Podrán trazar su diseño en un cartel, ya sea de cartulina, papel bond o ilustración.
Necesitarán un juego de geometría y lápices de colore a su elección.
Al finalizar, deberán presentar su diseño ante el grupo y compararlo con los diseños de los demás equipos.

Opción F: Realizar un estudio estadístico sobre el tema de su elección apoyado con el uso de un software como Excell.


Una vez que tengan las conclusiones, presentarán su estudio con tablas y gráficas de los datos recabados y los resultados obtenidos.

04 Posiciones relativas entre dos circunferencias

Entre rectas y circunferencias

Propósito: En esta secuencia identificarás las posiciones relativas entre
una recta y una circunferencia y entre circunferencias. Conocerás
algunas propiedades de las rectas secante y tangente de una
circunferencia.

I. Completa tus notas del cuaderno y prepárate para tu examen semanal estudiando los siguientes ejemplos y conclusiones:


II. Gánate un punto en tu examen semanal al contestar los siguientes problemas adicionales.





III. Si deseas aprender más...

Sobre la construcción de una recta tangente a una circunferencia y de circunferencias
tangentes, consulta:
http://www.educacionplastica.net/tangen.htm
Ruta 1: Construcción paso a paso
Ruta 2: Ejercicios para practicar la construcción
[Fecha de consulta: 1 de abril de 2008].

lunes, 12 de septiembre de 2011

03 Criterios de Congruencia de triángulos aplicada en cuadriláteros

Propósito: En esta secuencia aplicarás criterios de congruencia para la justificación de propiedades sobre los cuadriláteros.

A lo largo de la historia se han hecho afirmaciones matemáticas que por mucho tiempo se creyeron ciertas, luego fueron reconocidas como erróneas. Para evitarlo, los matemáticos exigieron que las afirmaciones matemáticas tuvieran una prueba rigurosa, es decir, una justificación que no deje lugar a dudas. En esta sesión conocerás una de estas justificaciones rigurosas en la geometría.

I. Completa tus notas con los siguientes ejemplos y ejercicios adicionales. Pregunta tus dudas al profesor.

Un cuadrilátero (palabra de raíces latinas que significa "cuatro lados") es un polígono con cuatro lados y otros tantos vértices. Son los polígonos más estudiados después de los triángulos.

Observen los siguientes cuadriláteros, escojan cuáles tienen sus lados opuestos iguales.

1. Cuadrado 2. Rectángulo 3. Trapecio isósceles 4. Rombo
5. Romboide 6. Trapezoide 7. Cuadrilátero no convexo
8. Trapecio rectángulo 9. Trapezoide simétrico o Deltoide.

De las siguientes propiedades, ¿cuál tienen en común los cuadriláteros que eligieron?
a) Sus cuatro lados son iguales.
b) Cualesquiera de sus lados opuestos son paralelos.
c) Sus cuatro ángulos son iguales.
d) Sus diagonales son perpendiculares.

¿Cuáles de las figuras anteriores son paralelogramos?


Históricamente se han destacado algunos cuadriláteros por sus simetrías, sus ángulos rectos o sus lados paralelos y se les han dado nombres particulares: trapecio, paralelogramo, rombo, rectángulo, cuadrado. Estos cuadriláteros se pueden clasificar a partir de sus diagonales (donde y como se cruzan):


En geometría existen muchos cuadriláteros y se clasifican en varios tipos, tales como cuadrados, rectángulos y paralelogramos. Estos tipos no son excluyentes, es decir, un mismo cuadrilátero puede ser de dos o más tipos. Por ejemplo, un cuadrado es a la vez un rectángulo, un trapecio y un paralelogramo.

Describe a qué tipos pertenecen cada uno de los siguientes cuadriláteros:


II. Gánate 1 punto en tu examen semanal, resolviendo las siguientes situaciones:


III. ¿Quieres exentar el tema? Pregunta a tu profesor por la actividad a realizar y exponer frente al grupo.

lunes, 5 de septiembre de 2011

02 Factorización de Expresiones Algebraicas

Propósito: En esta secuencia descubrirás procedimientos simplificados para encontrar los factores que dan lugar a un producto algebraico determinado.

I. Estudia los CUATRO TIPOS DE FACTORIZACIÓN PARA TU EXAMEN DEL VIERNES.

01. FACTOR COMÚN


Apliquen la regla anterior para factorizar 14x^2y – 21xy^2

02. UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO SE FACTORIZA EN UN BINOMIO AL CUADRADO

Te recomendamos tomar en cuenta los dos aspectos siguientes:
a) El cuadrado de una diferencia puede expresarse como el cuadrado
de una suma. Por ejemplo:
x – 12)^2 = [x + (– 12)]2 = x^2+2(x)(–12)+(–12)^2 = x^2–24x+144
b) Hay expresiones que parecen trinomios cuadrados perfectos pero
no lo son, por ejemplo: x^2 – 2x + 9.
Como tiene dos términos que son cuadrados: x 2 y 9, podría suponerse que el trinomio es resultado de desarrollar (x – 3)^2, sin embargo
(x – 3)^2 = (x + 3) (x + 3) = x^2 – 6x + 9.


Escribe el binomio al cuadrado o el trinomio que falta en cada renglón. ¡Ten cuidado, hay un trinomio que no es cuadrado perfecto! Eleva al cuadrado los binomios que obtengas para verificar si corresponden al trinomio presentado en la columna izquierda de la tabla:


Escribe el trinomio de la tabla que no es cuadrado perfecto. _____________
¿Por qué no es trinomio cuadrado perfecto (TCP)? _______________


Encuentra el cuadrado de los siguientes números aplicando la regla para elevar al cuadrado un binomio, tal como se muestra en los dos ejemplos.


03 UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS SE FACTORIZA EN UN PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS



04 UN TRINOMIO DE LA FORMA X2 + BX + C SE FACTORIZA EN UN PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS.




II. Gánate 1 punto extra en tu examen al resolver los siguientes ejercicios: