martes, 17 de enero de 2012

Construyendo sobre triángulos rectángulos

BIMESTRE 2
EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
TEMA: MEDIDA
SUBTEMA: Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo

SESIÓN 01
Intenciones didácticas de la sesión: Que los alumnos determinen las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la superposición de superficies y el cálculo de áreas.

CONSIGNA1: Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo.
Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor.


Preguntas de discusión:
a) ¿Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor?
b) ¿Por qué crees que sucede esto?
c) ¿Qué clase de triángulo es el que está sombreado?

CONCLUSIONES:

Para realizar la actividad de la primera consigna se requieren tijeras, hojas de colores o de foami. Esta forma de comprobar la relación entre las áreas de los cuadrados es válida para el triángulo rectángulo isósceles. El armado de la figura de la primera consigna puede quedar así:


Se espera que los alumnos digan que es un triángulo rectángulo isósceles y que determinen que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados iguales es equivalente al área del cuadrado del lado mayor.


CONSIGNA2: En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema:
Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.


Preguntas de discusión:

a) ¿Cuánto mide el área de cada una de las plazas?
b) Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas.
c) ¿Qué figura geométrica representa el jardín?


CONCLUSIONES

En la segunda consigna, mediante el cálculo de las áreas de las plazas, se espera que los estudiantes se den cuenta que al sumar las áreas de los cuadrados menores el resultado es igual al área del cuadrado mayor.

Es importante que los alumnos adviertan que no es la única relación, sino que determinen que hay otras relaciones, el área de un cuadrado menor es igual al área del cuadrado mayor menos el área del otro cuadrado menor.

SESIÓN 02

Intenciones didácticas de la sesión:
Que los alumnos verifiquen las relaciones entre las áreas construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la comparación de superficies y de forma algebraica.

CONSIGNA1: Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.


Con base en la relación que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una conclusión.


CONCLUSIONES
Para efecto de cálculos, en la consigna 1 cada cuadrado de la cuadrícula representa una unidad de medida.
La expectativa es que los alumnos adviertan que los cuatro triángulos de la figura 1 son iguales entre sí y con los cuatro triángulos de la figura 2, por lo tanto, la suma de las áreas de los dos cuadrados interiores de la figura 1 equivale al área del cuadrado interior de la figura 2.

A partir de la equivalencia anterior y considerando la figura 3, se trata que los estudiantes verifiquen que se cumplen las relaciones entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

Esta actividad puede realizarse utilizando el recurso tecnológico llamado “geogebra”, con la ventaja que al mover un vértice de la figura para cambiar sus dimensiones se puede apreciar que la relación entre las áreas de los cuadrados se conserva.


Si cuenta con Geogebra en su equipo, esta actividad la podrá descargar en:
http://www.supervision12sectec.com.mx/Documentos/matematicas/plan%20de%20clase%20para%203%b0%20pagina%20web.ggb

CONSIGNA 2: En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las áreas sombreadas de la figura A es igual al área sombreada en la figura B.



CONCLUSIONES

En la segunda consigna se trata que los alumnos recurran a sus conocimientos de álgebra para comparar las áreas de las figuras A y B y determinar que la suma de las áreas de los cuadrados internos de la figura A es equivalente al área del cuadrado interno de la figura B. Una forma de proceder es la siguiente:


Que al contrastar dichos cuadrados con la figura C, puedan verificar una vez más las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo.

También se les puede solicitar que representen algebraicamente el área de uno de los cuadrados menores, si se conoce el área del cuadrado mayor y la del otro menor, para lo cual tendrán que despejar en a^2 + b^2 = c^2.

SESIÓN 03

Intenciones didácticas de la sesión: Que los alumnos infieran que sólo en los triángulos rectángulos se cumple que el área del cuadrado construido con la medida del lado mayor es equivalente a la suma de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores, mediante el cálculo de las áreas.

Consigna: Organizados en equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide.


¿En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor?


Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron.


CONCLUSIONES:
Después que los alumnos analizan diferentes triángulos, la expectativa es que determinen que sólo en los triángulos rectángulos la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor.

Después de todas las experiencias relacionadas con este contenido, el profesor puede comentar que en un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado mayor) y los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos (lados menores) y que la propiedad estudiada “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, la cual es exclusiva de los triángulos rectángulos, recibe el nombre de “Teorema de Pitágoras”. Esta propiedad se puede enunciar de manera sintética así, “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”.

En internet hay muchas opciones para consolidar este conocimiento, algunas de ellas se muestran a continuación:

•http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html En matemáticas 3°, Forma espacio y medida. Reactivo 38, teorema de Pitágoras /demostración/sumar áreas.
•www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html.
•http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

Videos:
•http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk
•http:/www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06

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