Repasemos las funciones proporcionales (vistas en primaria y 1er grado) y las funciones lineales (vistas en 2° grado):
I. FUNCIONES PROPORCIONALES
1. A Mario le gusta los gansitos, por lo que consume muchos cada día.
a) Realiza la tabla donde relaciones la cantidad de gansitos comprados (x) con la cantidad a pagar (y).
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona dichas cantidades?
c) Traza la gráfica en GEOGEBRA. ¿Cuál es la forma de la gráfica?
2. “En el periodo vacacional, de una caseta de cobro de la carretera Chilpancingo-Acapulco salen 25 autos por minuto”,
a) ¿Cuántos autos saldrán en una hora? Esta misma afirmación se puede representar de la siguiente manera:
y = número de autos
x = tiempo en minutos
y = 25x
Es decir, el número de autos (y) que pasarán por la caseta es igual a 25 por el tiempo en minutos que midamos.
En nuestro problema original tenemos:
y = 25 (60) y = 1 500 En 60 minutos saldrán 1 500 autos
3. Si el tipo de cambio de un dólar estadounidense por pesos mexicanos es de $14.00. La cantidad de dólares que se cambiarán se representa como x, y la cantidad de pesos que se obtienen se representa como y, entonces la expresión algebraica: y = 14x, permite conocer la cantidad de pesos (y) que se obtiene al cambiar cierta cantidad de dólares (x). La constante de proporcionalidad en este caso es: $14.00 por cada dólar.
a) Elabora la tabla de esta situación.
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona dichas cantidades?
c) Traza la gráfica en GEOGEBRA. ¿Cuál es la forma de la gráfica?
Las gráficas de funciones proporcionales directas son líneas rectas inclinadas que pasan por el origen (0,0).
II. FUNCIONES LINEALES.
Una relación es lineal si su gráfica es una línea recta.
1. Un taxi cobra por su servicio $10.00 más $2.00 por cada kilómetro recorrido.
a) Realiza la tabla donde relaciones la distancia recorrida en km (x) con la cantidad a pagar (y).
b) ¿Cuál es la expresión algebraica que relaciona dichas cantidades?
c) Traza la gráfica en GEOGEBRA. ¿Cuál es la forma de la gráfica?
d) Un pasajero sube al taxi y sólo tiene $32.00, ¿cuántos kilómetros puede viajar?
2. Lee la siguiente receta de cocina: Pavo al horno. Para preparar un pavo suave y jugoso envuélvalo en papel aluminio y hornee 15 minutos por cada kilogramo de pavo y sume a esto 90 minutos extras.
a) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo de 5 kg?
b) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa 8 kg?
c) ¿Cuánto tiempo de horneado requiere un pavo que pesa 6.5 kg?
d) Completa la siguiente tabla
Peso (Kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo 90
e) Traza la gráfica en GEOGEBRA. ¿Cuál es la forma de la gráfica?
Las gráficas de funciones lineales son líneas rectas inclinadas que no pasan por el origen (0,0).
III. FUNCIONES CUADRÁTICAS.
¿Cómo caen los cuerpos? El movimiento de caída de una canica a lo largo de un plano inclinado resulta ser uniformemente acelerado, es decir, mantiene
una aceleración constante. Ahora, trataremos de describir la posición
de la canica en cualquier momento del tiempo.
Comparen sus respuestas y comenten.
a) ¿Cuáles de las cuatro gráficas representan relaciones lineales?
b) ¿Cuál de las cuatro representa una relación lineal por pedazos?
En el siguiente plano cartesiano localiza los puntos asociados a la tabla 1. Después dibuja la gráfica de la relación como creas que debería de verse (ayúdate de la gráfica que elegiste en el apartado Consideremos lo siguiente). Recuerda que la gráfica debe pasar por los puntos que ya localizaste.
Observa la gráfica y contesta:
a) Aproximadamente, ¿qué distancia lleva recorrida la canica cuando han transcurrido 2.5 segundos?
b) ¿Y cuando han transcurrido 3.5 segundos?
Denotamos con la letra x el tiempo que ha transcurrido desde que se dejó caer la canica y con la letra y la distancia recorrida. De las siguientes expresiones, ¿cuál crees que sirve para calcular y a partir de x ? Márcala.
a) y = 10x
b) y = 11x^2 – x
c) y = 10x^2
d) y = 30x – 20
Comparen sus respuestas y comenten:
a) Cuando la canica alcanzó el punto más alto, ¿cuál creen que era su velocidad?
b) ¿En qué momento la canica va acelerando?, ¿En qué momento va frenando? ¿Cuándo lleva velocidad constante?
IV. Contesta el siguiente REPASO (Cuenta como cualquier otra tarea), prepárate para tu examen y gánate un punto en el proceso. (Gracias por su esfuerzo y dedicación)
REPASA FUNCIONES PROPORCIONALES
¿Habrá ejemplos donde haya varias relaciones de proporcionalidad presentes en un mismo problema?
Sí, esto lo podemos observar en algunos telescopios y microscopios. Los microscopios compuestos tienen una lente inferior en el objetivo que aumenta 15 veces el tamaño de los objetos. Además, tienen una lente superior en el ocular que aumenta 10 veces.
En la siguiente tabla se organiza la información para visualizar cómo se amplifica el tamaño de algunos objetos en un microscopio, de acuerdo con la información relacionada con los diferentes aumentos, completa la tabla.
En esta tabla hay dos relaciones de proporcionalidad. En sus cuadernos escriban la expresión algebraica que permite:
a) Pasar del tamaño real al tamaño obtenido con la primera lente.
b) Pasar del tamaño real del objeto al tamaño final.
c) Pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño obtenido con la segunda lente.
Cuando se aplican sucesivamente dos constantes de proporcionalidad, se obtienen dos relaciones de proporcionalidad. Para cada relación se puede encontrar una expresión algebraica. Por ejemplo, en un microscopio con lentes de 20 y 30 veces de aumento, si se llama:
x al tamaño real
y al tamaño obtenido con la primera lente y
w al tamaño final, se pueden obtener:
*La expresión que permite pasar del tamaño real al tamaño obtenido con la primera lente es: y = 20x
*La expresión que permite pasar del tamaño obtenido con la primera lente al tamaño obtenido con la segunda lente es: w = 30y
*La expresión que permite pasar directamente del tamaño real al tamaño final es: w = 600x
La constante de proporcionalidad de la última expresión se obtiene al multiplicar las constantes dadas por los aumentos de las lentes.
¿Qué otros ejemplos puedes encontrar en tu vida cotidiana?
REPASA FUCIONES LINEALES
En una escuela secundaria quieren rentar un autobús para realizar una excursión. Se solicitó a 3 compañías de autobuses un presupuesto, las cuales proporcionaron la siguiente información:
• Compañía A: cobra $1 500.00 más $20.00 por cada kilómetro recorrido.
• Compañía B: cobra $2 000.00 más $15.00 por cada kilómetro recorrido.
• Compañía C: cobra $3 000.00 más $10.00 por cada kilómetro recorrido.
a) Realiza las tablas de valores para las compañías.
b) ¿Cuáles son las expresiones algebraicas que relacionan el cobro con el número de kilómetros recorridos para cada compañía?
c) Traza la gráfica en GEOGEBRA. ¿Cuál es la forma de la gráfica?
d) ¿En cuál es más barato contratar a la compañía B? Entre ___km y ____km.
REPASA FUNCIONES CUADRÁTICAS
En una empresa fabrican cajas de metal. Las cajas se construyen a partir de una lámina rectangular de 3 m de largo por 2 m de ancho, a la que le cortan cuatro cuadrados de las esquinas. Después, se dobla la lámina restante para formar una caja rectangular y, por último, se sueldan las orillas.
Los fabricantes no saben de qué tamaño cortar los cuadrados para que el volumen sea lo más grande posible. Por ello en la figura se ha marcado con la letra x la medida en metros de los lados de los cuadrados que se cortan.
En este problema encontraremos el valor de x para maximizar la superficie de la base de la caja, es decir, para que su área sea lo más grande posible.
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