Esta semana encontrarás una gran variedad de problemas que no se pueden resolver con ecuaciones lineales, sino que requieren un nuevo tipo de ecuaciones.
Propósito: En esta secuencia resolverás problemas mediante el planteamiento y solución de ecuaciones de segundo o tercer grado.
En Matemáticas I y II aprendiste a resolver problemas y ecuaciones lineales con una incógnita y con dos. Algunas de esas ecuaciones tienen sólo una solución, por ejemplo: 2x + 3 = 8.
Otras tienen una infinidad de soluciones, tal como: x + y = 10.
En esta secuencia estudiarás algunos problemas que pueden resolverse con ecuaciones que tienen dos soluciones, una solución o ninguna solución.
EL NÚMERO SECRETO
I. Resuelve el acertijo:
Pensé un número y lo elevé al cuadrado. Al resultado lo multipliqué por 4 y al final obtuve 100. Si no pensé en el 5, ¿de qué número se trata?
II. El producto de dos números enteros consecutivos es 552.
¿Cuáles son esos números?
a) Para resolver este tipo de problemas es necesario, frecuentemente, encontrar la ecuación primero la ecuación correspondiente. Si se representa con la letra x el número menor de los dos, ¿cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior?
• (x ) (x ) = 552
• (x ) (552) = y
• x (x + 1) = 552
• (x ) (x ) + 1 = 552
• x^2 + 1 = 552
III. Se tiene el siguiente acertijo: a tres veces el cuadrado de un número se le sumó 8. Como resultado se obtuvo 83.
Si el número se representa con la letra x, ¿cuál de las siguientes es la ecuación que corresponde al acertijo? Subráyala.
• (3 + x )^2 + 8 = 83
• 3x^2 + 8 = 83
• (3)(x^2)(8) = 83
La ecuación que corresponde al acertijo tiene dos posibles soluciones.
a) Encuentra las dos soluciones de la ecuación que subrayaste:
_________ y _________
b) Verifica las soluciones realizando con cada una de ellas las operaciones que se indican en el acertijo.
LO QUE APRENDIMOS DE LAS ECUACIONES CUADRÁTICAS
Resuelve los siguientes problemas. Verifica las soluciones que obtengas.
1. El cuadrado de un número más 3 es igual a 84.
El número puede ser ___________ o ___________
2. Pedro pensó un número, lo elevó al cuadrado, al resultado le sumó 5 y obtuvo 1.
a) ¿Por qué crees que Pedro se equivocó al hacer alguna de las dos operaciones?
b) Si Pedro pensó en el –2, ¿cuánto debió obtener de resultado?
c) Si Pedro pensó en el +2, ¿cuánto debió obtener de resultado?
d) ¿Hay algún número que elevado al cuadrado sea igual a –4? ____ ¿Cuál?
3. El largo de un terreno rectangular mide el doble del ancho. El terreno tiene 162 m^2 de área.
a) Encuentra una ecuación que exprese el problema anterior.
Usa la letra x para representar al ancho.
b) ¿Cuánto mide de ancho?
c) ¿Cuánto mide de largo?
CUBOS, CUADRADOS Y ARISTAS
¿Cuánto mide la arista de un cubo cuyo volumen es 216 cm3?
I. Revisa los procedimientos que siguieron algunos alumnos para resolver el problema.
¿Con cuál de los tres procedimientos estás de acuerdo?
El procedimiento 1 es incorrecto. Aunque es cierto que la expresión que modela el problema es x^3 = 216, no puede obtenerse el valor de x dividiendo entre 3. Es un error común que los alumnos confundan la obtención de una raíz con una división, por ello es importante aclarar que
el procedimiento correcto, en este caso, es buscar un número que elevado al cubo sea igual a 216.
El procedimiento 2 es correcto aunque Rosa no logró obtener una solución. Si hubiese probado con más números entre 5 y 8 posiblemente habría descubierto que 63 = 216.
El procedimiento 3 es correcto aunque Lupe tampoco pudo llegar al resultado. Sin embargo, sabe que siguiendo el procedimiento de operaciones inversas la forma de encontrar el valor de x es sacando la raíz cúbica de 216.
Lo que debe destacarse al discutir los procedimientos 2 y 3 es que aunque ni Rosa ni Lupe llegaron al resultado, la forma de plantear la obtención de la solución es correcta.
Comparen sus respuestas. Comenten:
a) ¿Cuál creen que sea la medida que encontró Rosa al continuar con su procedimiento?
b) ¿Cuánto es la raíz cúbica de 216?
II. Contesta lo que se te pide a continuación
a) Relaciona las columnas.
c) Verifica tus soluciones sustituyendo los valores en la siguiente tabla. Si lo consideras necesario, usa tu calculadora.
III. Plantea una ecuación para resolver el siguiente acertijo.
Usa x para representar el número buscado.
"Pensé un número. Le sumé 5 y al resultado lo elevé al cubo.
Al final obtuve –27. ¿Cuál es el número que pensé?"
a) Ecuación: _______________________
b) Soluciona la ecuación que planteaste. Verifica tu solución sustituyendo el valor que encontraste.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
LO QUE APRENDIMOS DE LAS ECUACIONES CÚBICAS
Resuelve los siguientes problemas.
1. A un número le resto 15, el resultado lo elevo al cubo y obtengo –8. ¿De qué número se trata?
Ecuación: ________________
Solución: ________________
2. El área total de las seis caras de un cubo es 60 cm^2.
a) Si la medida de una arista se representa con x, ¿cuál de las siguientes ecuaciones permite encontrar la medida de la arista? Subráyala.
• x^3 = 60
• x^2 = 60
• 6x^2 = 60
• 6x = 60
b) ¿Cuánto mide de área, una cara del cubo?
c) ¿Cuánto mide la arista del cubo? x =
(Usa la calculadora para encontrar la solución.)
d) ¿Cuánto mide de volumen el cubo?
III. Gánate un punto al resolver los siguientes problemas de ecuaciones cuadráticas por el método del despeje.
Resuelve los siguientes problemas. Usa la calculadora para realizar las operaciones cuando lo consideres necesario.
1. A un hojalatero le encargaron hacer un recipiente en forma de prisma cuadrangular de 3 dm de altura que tenga un volumen de 48 dm3.
Para construir el recipiente usará una lámina de metal de forma cuadrada (figura A), luego cortará cuadrados en las esquinas y, finalmente, doblará los bordes para formar el recipiente.
Contesta las siguientes preguntas para encontrar las medidas de los lados de la lámina
a) ¿Qué forma geométrica tiene la base del prisma?
b) La medida en decímetros del lado de la lámina es y.
Subraya la expresión que representa la medida, en decímetros, de un lado de la base del prisma?
• y
• y – 6
• y – 3
c) ¿Qué expresión corresponde al área de la base del prisma?
d) Subraya la ecuación que hay que resolver para encontrar la medida de un lado de la lámina metálica.
• 4(y – 6)^2 = 48
• 6(y – 6)^2 = 48
• 3(y – 6)^2 = 48
• 3(y – 3)^2 = 48
e) Hay dos números que solucionan la ecuación que corresponde al problema. Encuéntralos.
y1 = ___________, y2 = ___________
f) ¿Cuánto tiene que medir el lado de la lámina metálica?
2. El parque de una colonia está ubicado en un terreno cuadrado.
El estacionamiento ocupa una parte cuadrada del terreno de 50 m por lado y el resto es el jardín con un área de 14 400 m2.
a) Plantea una ecuación que permita encontrar cuánto mide el lado x de todo el terreno.
b) ¿Cuáles son las dos soluciones de la ecuación que encontraste?
__________ y _____________
c) ¿Cuánto mide el lado del terreno del parque?
3. Inventen dos problemas para cada ecuación, resuélvanlas y determinen cuáles soluciones son aceptables para cada problema.
a) x^2/5 = 125
b) 6a^2 = 37.5
c) 3n^2 – n = 102
Sobre ecuaciones cuadráticas, consulten:
http://www.emathematics.net/es/ecsegundogrado.php?a=1&tipo=numero
Ruta: Ecuación de segundo grado > Resolución cuando b=0
